[问题2014S07]  解答  (本解答由沈启帆同学提供)

由复旦高代教材 P265 引理 7.4.1 知 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 的不变因子组为 \[1,\cdots,1,P_i(\lambda)^{e_i}.\] 因此分块对角阵 \(F=\mathrm{diag}\{F(P_1(\lambda)^{e_1}),F(P_2(\lambda)^{e_2}),\cdots,F(P_k(\lambda)^{e_k})\}\) 经过 \(\lambda\)-矩阵的初等变换可化为如下对角 \(\lambda\)-矩阵: \[\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,P_1(\lambda)^{e_1};1,\cdots,1,P_2(\lambda)^{e_2};\cdots;1,\cdots,1,P_k(\lambda)^{e_k}\}.\] 由复旦高代教材 P271 引理 7.6.2 知 \(F\) 的初等因子组等于上述对角 \(\lambda\)-矩阵主对角元素的准素因子的集合. 注意到每个 \(P_i(\lambda)^{e_i}\) 都是准素的, 因此 \(F\) 的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 即 \(F\) 与 \(A\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上有相同的初等因子组. 由复旦高代教材 P269 定理 7.5.1 知 \(A\) 与 \(F\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上相似.  \(\Box\)

第三届全国大学生数学竞赛初赛一道试题的解答

设 \(A\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \[P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k};\lambda^{t_1},\lambda^{t_2},\cdots,\lambda^{t_r},\] 其中 \(P_i(\lambda)\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式且 \(P_i(0)\neq 0\), \(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\); \(t_j>0,\,j=1,2,\cdots,r\). 注意到 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(P_i(\lambda)^{e_i}\) 的友阵, 从而它的特征多项式恰为 \(P_i(\lambda)^{e_i}\). 特别地, \(\det\Big(F(P_i(\lambda)^{e_i})\Big)=(-1)^{n_i}P_i(0)^{e_i}\neq 0\), 其中 \(n_i=\deg P_i(\lambda)^{e_i}\), 即 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 是非异阵. 令 \[B=\mathrm{diag}\{F(P_1(\lambda)^{e_1}),F(P_2(\lambda)^{e_2}),\cdots,F(P_k(\lambda)^{e_k})\},\] 则 \(B\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的非异阵. 由友阵的定义容易验证 \(F(\lambda^{t_j})\) 是幂零阵. 令 \[C=\mathrm{diag}\{F(\lambda^{t_1}),F(\lambda^{t_2}),\cdots,F(\lambda^{t_r})\},\] 则 \(C\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的幂零阵. 由 [问题2014S07] 知 \(A\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上相似于\[\left( \begin{array}{cc} B & 0 \\ 0 & C \end{array} \right),\] 故结论得证.  \(\Box\)